Thực đơn
Giá_trị_riêng Tính chất1. Số λ {\displaystyle \lambda } là trị riêng của A {\displaystyle A} khi và chỉ khi A u = λ u ( u ≠ 0 ) {\displaystyle Au={\lambda }u(u\neq 0)} . Suy ra: hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ( A − λ I ) u = 0 {\displaystyle (A-{\lambda }I)u=0} có nghiệm u ≠ 0 ⇔ d e t ( A − λ I ) = 0 {\displaystyle u{\neq }0\Leftrightarrow det(A-{\lambda }I)=0} .
2. Điều này là hiển nhiên vì dựa vào định nghĩa và tính chất 1 thì hệ phương trình ( A − λ I ) u = 0 {\displaystyle (A-{\lambda }I)u=0} có vô số nghiệm.
3. Giả sử vectơ riêng u 1 {\displaystyle u_{1}} ứng với 2 trị riêng λ 1 ; λ 2 . {\displaystyle {\lambda }_{1};{\lambda }_{2}.}
Ta cần chứng minh: λ 1 = λ 2 {\displaystyle {\lambda }_{1}={\lambda }_{2}} . Thật vậy, ta có:
A u 1 = λ 1 u 1 ; A u 1 = λ 2 u 1 ⇒ λ 1 u 1 − λ 2 u 1 = 0 ⇒ ( λ 1 − λ 2 ) u 1 = 0 {\displaystyle Au_{1}={\lambda }_{1}u_{1};Au_{1}={\lambda }_{2}u_{1}\Rightarrow {\lambda }_{1}u_{1}-{\lambda }_{2}u_{1}=0\Rightarrow ({\lambda }_{1}-{\lambda }_{2})u_{1}=0}
Mà: u 1 ≠ 0 {\displaystyle u_{1}\neq 0} . Do đó: λ 1 − λ 2 = 0 {\displaystyle {\lambda }_{1}-{\lambda }_{2}=0}
4. Ta có:
P ( λ ) = d e t ( A − λ I ) ⇒ P ( A ) = d e t ( A − A . I ) = d e t ( A − A ) = 0 {\displaystyle P({\lambda })=det(A-{\lambda }I)\Rightarrow P(A)=det(A-A.I)=det(A-A)=0}5. Do λ = 0 {\displaystyle {\lambda }=0} là GTR của ma trận A {\displaystyle A} . Do đó:
P ( 0 ) = d e t ( A − 0. I ) = 0 ⇒ d e t ( A ) = 0. {\displaystyle P(0)=det(A-0.I)=0\Rightarrow det(A)=0.}Chứng tỏ A suy biến (không khả nghịch).
6. Ta có A u = λ u {\displaystyle Au={\lambda }u} . Do đó
A 2 u = ( A . A ) . u = A . ( A . u ) = A . ( λ u ) = λ . A u = λ 2 u {\displaystyle A^{2}u=(A.A).u=A.(A.u)=A.({\lambda }u)={\lambda }.Au={\lambda }^{2}u} .Từ đó, bằng cách chứng minh quy nạp, bạn sẽ có kết quả.
Nhận xét: từ kết quả trên, ta nhận thấy có một cách để tính nhanh | A − a I | {\displaystyle |A-aI|} . Đó là ta tìm đa thức đặc trưng P ( λ ) = | A − λ I {\displaystyle P({\lambda })=|A-{\lambda }I} của ma trận A. Sau đó, tính giá trị của P ( a ) {\displaystyle P(a)} .
Thực đơn
Giá_trị_riêng Tính chấtLiên quan
Giá trị riêng và vectơ riêng Giá trị thặng dư Giá trị R (cách nhiệt) Giá trị kỳ vọng Giá trị tuyệt đối Giá trị hiện tại thuần Giá trị (kinh tế học) Giá trị quan Giá trị sổ sách Giá trị vốn hóa thị trườngTài liệu tham khảo
WikiPedia: Giá_trị_riêng